Objem v Matematike

Objem je priestorová veličina, ktorá udáva, koľko miesta zaberá trojrozmerný objekt. Objem sa vypočítava pomocou rôznych vzorcov v závislosti od tvaru telesa.

Základné vzorce pre výpočet objemu:

1. Objem kvádra (pravidelného hranola):
   [
   V = a \times b \times c
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (a), (b), a (c) sú dĺžky strán kvádra.

1. Objem kocky:
   [
   V = a^3
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (a) je dĺžka strany kocky.

1. Objem valca:
   [
   V = \pi \times r^2 \times v
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (r) je polomer základne valca,
• (v) je výška valca.

1. Objem gule:
   [
   V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (r) je polomer gule.

1. Objem kužeľa:
   [
   V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times v
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (r) je polomer základne kužeľa,
• (v) je výška kužeľa.

1. Objem hranola:
   [
   V = S_{\text{z}} \times v
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (S_{\text{z}}) je plocha základne,
• (v) je výška hranola.

1. Objem ihlana:
   [
   V = \frac{1}{3} \times S_{\text{z}} \times v
   ]
   Kde:

• (V) je objem,
• (S_{\text{z}}) je plocha základne,
• (v) je výška ihlana.

Cvičenia:

1. Kváder má rozmery 5 cm, 3 cm a 4 cm. Vypočítaj jeho objem.
2. Kocka má dĺžku hrany 6 cm. Aký je jej objem?
3. Valec má polomer základne 2 cm a výšku 7 cm. Vypočítaj jeho objem.
4. Guľa má polomer 5 cm. Vypočítaj jej objem.
5. Kužeľ má polomer základne 3 cm a výšku 9 cm. Vypočítaj jeho objem.
6. Hranol má základňu v tvare pravouhlého trojuholníka s odvesnami 3 cm a 4 cm. Výška hranola je 10 cm. Vypočítaj jeho objem.
7. Ihlan má štvorcovú základňu s dĺžkou strany 4 cm a výškou 12 cm. Aký je objem ihlana?

Odpovede:

1. Objem kvádra:
   [
   V = 5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ cm}^3
   ]
2. Objem kocky:
   [
   V = 6^3 = 216 \text{ cm}^3
   ]
3. Objem valca:
   [
   V = \pi \times 2^2 \times 7 = \pi \times 4 \times 7 = 28\pi \text{ cm}^3 \approx 87,96 \text{ cm}^3
   ]
4. Objem gule:
   [
   V = \frac{4}{3} \times \pi \times 5^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 125 = \frac{500\pi}{3} \text{ cm}^3 \approx 523,6 \text{ cm}^3
   ]
5. Objem kužeľa:
   [
   V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 9 = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 9 = 27\pi \text{ cm}^3 \approx 84,82 \text{ cm}^3
   ]
6. Objem hranola:
   [
   S_{\text{z}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
   ]
   [
   V = 6 \times 10 = 60 \text{ cm}^3
   ]
7. Objem ihlana:
   [
   S_{\text{z}} = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2
   ]
   [
   V = \frac{1}{3} \times 16 \times 12 = \frac{192}{3} = 64 \text{ cm}^3
   ]